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https://hdl.handle.net/10419/316140
Authors:
Year of Publication:
2025
Publisher:
ZBW - Leibniz Information Centre for Economics, Kiel, Hamburg
Abstract:
This paper develops a rigorous mathematical framework for analyzing trust dynamics and statistical properties in small-scale risk-sharing communities. We establish that small pools with interdependent risks exhibit fundamentally different mathematical properties than large insurance systems, with volatility exceeding stability thresholds by a factor of √(N/Nc) and correlation structures reducing effective pool size by up to 89%. We formalize trust as a mathematically tractable variable with threshold stability properties, proving the existence of critical values TRcritical ∈ [0.65, 0.75] that create bifurcation points in system behavior. Our mathematical analysis demonstrates that network density directly determines trust propagation speed according to precise mathematical relationships. We prove that trust response exhibits asymmetric properties, with negative experiences having 1.5-2.5 times stronger impact than positive experiences of equal magnitude, creating hysteresis effects in system stability. By developing differential equations governing trust evolution and applying network diffusion models, we establish exact conditions for system stability and characterize phase transitions under parameter variation. The mathematical framework enables precise quantification of correlation penalties, network effects, and trust thresholds with applications to community-based risk-sharing systems where conventional statistical approaches fail. Our results transform qualitative concepts of trust and social capital into quantifiable mathematical variables with specific dynamics and stability properties.
Abstract (Translated):
Diese Arbeit entwickelt ein rigoroses mathematisches Rahmenwerk zur Analyse von Vertrauensdynamiken und statistischen Eigenschaften in kleinskaligen Risikoausgleichsgemeinschaften. Wir zeigen, dass kleine Risikopools mit interdependenten Risiken grundlegend andere mathematische Eigenschaften aufweisen als groß angelegte Versicherungssysteme: Die Volatilität überschreitet die Stabilitätsschwellen um den Faktor √(N/Nc), und Korrelationsstrukturen reduzieren die effektive Poolgröße um bis zu 89 %. Wir formalisieren Vertrauen als mathematisch behandelbare Variable mit stabilitätstheoretischen Schwellenwerten und weisen die Existenz kritischer Werte TR_critical ∈ [0,65; 0,75] nach, die als Bifurkationspunkte im Systemverhalten fungieren. Unsere mathematische Analyse zeigt, dass die Netzwerkkonnektivität die Geschwindigkeit der Vertrauensausbreitung direkt bestimmt, gemäß exakt ableitbaren mathematischen Beziehungen. Es wird nachgewiesen, dass die Vertrauensreaktion asymmetrisch verläuft: Negative Erfahrungen wirken sich 1,5- bis 2,5-mal stärker aus als gleichwertige positive Erlebnisse, was Hystereseeffekte in der Systemstabilität verursacht. Durch die Entwicklung von Differentialgleichungen zur Beschreibung der Vertrauensentwicklung sowie die Anwendung von Netzwerkdiffusionsmodellen definieren wir exakte Stabilitätsbedingungen und charakterisieren Phasenübergänge bei Parameterveränderungen. Das mathematische Rahmenwerk ermöglicht eine präzise Quantifizierung von Korrelationsverlusten, Netzwerkeffekten und Vertrauensschwellen – insbesondere in gemeinschaftsbasierten Risikoausgleichssystemen, in denen konventionelle statistische Verfahren versagen. Unsere Ergebnisse überführen qualitative Konzepte wie Vertrauen und Sozialkapital in quantifizierbare mathematische Variablen mit spezifischen Dynamiken und Stabilitätseigenschaften.
Subjects:
trust dynamics
small risk pools
network diffusion
copula theory
correlation structures
threshold stability
small risk pools
network diffusion
copula theory
correlation structures
threshold stability
JEL:
Z13
G22
D85
C46
C58
C22
G22
D85
C46
C58
C22
Document Type:
Preprint
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