The Empirical Performance of Option Based Densities of Foreign Exchange - Joachim G. Keller; Ben R. Craig (Deutsche Bundesbank, 2002)
Risk neutral densities (RND) can be used to forecast the price of the underlying basis for the option, or it may be used to price other derivates based on the same sequence. The method adopted in this paper to calculate the RND is to firts estimate daily the diffusion process of the underlying futures contract for foreign exchange, based on the price of the American puts and calls reported on the Chicago Mercentile Exchange for the end of the day. This process implies a risk neutral density for each point of time in the future on each day. I order to estimate the diffusion process we need methods of calculating the prices of American options that are fast and accurate. The numercial problems posed by American options are tough. We solve the pricing of American options by using higher order lattices combined with smoothing the value function of the American Option at the boundaries in order to mitigate the non-differentiability of both the payoff boundary at expiration and the early exercise boundary. By calculating the price of an American option quickly, we can estimate the diffusion process by minimizing the squared distance between the calculated prices and the observed prices in the data. This paper also tests wheter the densities provided from American options provide a good forecasting tool. We use a non-parametric test of the densities that depends on inverse probabilities. A problem with the use of these tests in the past has been the time series nature of the transformed variables when the forecasting windows overlap. The inverse probability of the realized thirty day ahead spot at time t is correlated with the corresponding inverse probability at time t-1, because the development of the spot rate untill t shares twenty-nine days of history. We modify the tests based on the inverse probability function to account for this correlation between our random variables that are uniform distributed under the null hypothesis. We find that the densities based on the American option prices for foreign exchange do considerably well for the thirty to sixty day time horizon, but less well for the shorter horizons. The most sophisticated single state model of the diggusion process did best at the one-hundred-eighty day horizon. – – Risikoneutrale Dichten (RND) können dazu genutzt werden, den Preis des der Option unterliegenden Basiswertes vorherzusagen, oder aber nur um den Wert anderer Derivative, die sich auf den gleichen Basiswert beziehen, zu berechnen. Die in diesem Aufsatz vorgestellte Methode zur Berechnung der RND besteht darin, in einem ersten Schritt täglich den Diffusionsprozess der Futures Kontrakte des Devisenmarktes zu schätzen, indem auf die Tagesendnotierungen von amerikanischen Kauf- und Verkaufsoptionen zurückgegriffen wird, die an der Chicagoer Produktenbörse gehandelt werden. Dieser täglich geschätzte Prozess impliziert dann für beliebige Zeitpunkte in der Zukunft risikoneutrale Dichten. Allerdings erfordert die Schätzung des Diffusionsprozesses schnelle und genaue Berechnungsmethoden für die Preise amerikanischer Option. Wir lösen das Problem der Bewertung amerikanischer Optionen dadurch, dass wir an nicht differenzierbaren Stellen glätten, also zum Fälligkeitszeizpunkt der Option bzw. bei Wertentwicklung des Basiswertes, an dem sich möglicherweise das Ausüben der Option vor Fälligkeit lohnt. Wir schätzen den Diffusionsprozess, indem wir den Kleinstquadratabstand zwischen den vom Diffusionsprozess implizierten Preisen und den beobachteten Notierungen amerikanischer Optionen bestimmen; ein Verfahren, das nur bei schneller Berechung der Optionspreise durchführbar ist. Darüber hinaus wird im vorliegenden Aufstatz geprüft, ob die aus amerikanischer Optionen abgeleiteten Dichten ein geeignetes Prognosewerkzeug darstellen. Dies geschieht mittels eines nichtparametrischen Verteilungstests, der von inversen Warscheinlichkeiten abhängt. Ein Problem, das sich beim Einsatz solcher Tests in der Vergangenheit ergab, war der Zeitreihen-Charakter der transformierten Variablen bei überlappenden Prognosefenstern. Die inverse Wahrscheinlichkeit des beispielsweise 30 Tage in der Zukunft liegenden realisierten Kassakurses zum Zeitpunkt t ist mit der entsprechenden inversen Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t-1 korreliert, da die Kassakursentwicklung bis zum Zeitpunkt t-1 korreliert, da die Kassakursentwicklung bis zum Zeitpunkt t 29 Tage gemeinsam hat. Wir modifizieren die Tests auf Grundlage der inversen Verteilungsfunktion, um dieser Korrelation zwischen unseren Zufallsvariablen, die unter der Nullhypothese gleichverteilt sind, Rechnung zu tragen. Es zeigt sich, dass die Dichten auf der Basis amerikanischer Devisenoptionspreise bei einem Prognosehorizont von 30 bis 60 tagen sehr aussagekräftig sind, sich bei kürzeren Prognosezeithorizonten jedoch weniger gut bewähren. Für den 180-Tage prognosehorizont schnitt das Ein-Faktor-Zustandsmodell des Diffusionsprozesses am besten ab.
Keywords: C52; F47; C63; F31; 330; Risk-neutral densities from option prices; American exchange rate options; Evaluating Density Forecasts; Pentionomial tree; Density evaluation; Devisenoptionsgeschäft; Optionspreistheorie; Volatilität; Stochastischer Prozess; Schätztheorie; Statistische Verteilung; Wechselkurs; Prognoseverfahren; Theorie; Schätzung; USA; Density Forecasts